Амплитуда напряжения гармонических электромагнитных колебаний формула. SA Колебательный контур. Колебательный контур. Период свободных колебаний

Темы кодификатора ЕГЭ : свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания - это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур - это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания - периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия - только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент : . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Рис. 1.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия . Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

Рис. 2.

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же - координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Рис. 3.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия . Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть : . Конденсатор перезаряжается - на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

Рис. 4.

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться влево - от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Рис. 5.

Аналогия . Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть : . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

Рис. 6.

Аналогия . Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

Рис. 7.

Аналогия . Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть : . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

Рис. 8.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться вправо - от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода : . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

Рис. 9.

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок - рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия . Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими - они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

Таким образом,

(1)

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

(2)

Здесь, как вы уже поняли, - жёсткость пружины, - масса маятника, и - текущие значения координаты и скорости маятника, и - их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

(3)

(4)

(5)

(6)

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

(7)

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона . Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока - ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора - это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае - заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому class="tex" alt="\dot{q} > 0"> .

Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

(8)

Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если - функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

Подставляя сюда и , получим:

Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

Перепишем это в виде:

(9)

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

(10)

Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

Мы снова пришли к формуле Томсона.

Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

(11)

Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

(12)

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз - по закону синуса:

(13)

Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

Используя формулу приведения

запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс - резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

Если сравнить рис. 50 с рис. 17, на котором показаны колебания тела на пружинах, то нетрудно установить большое сходство во всех стадиях процесса. Можно составить своего рода «словарь», с помощью которого описание электрических колебаний можно тотчас же перевести на описание механических, и обратно. Вот этот словарь.

Попробуйте перечитать предыдущий параграф с этим «словарем». В начальный момент конденсатор заряжен (тело отклонено), т. е. системе сообщен запас электрической (потенциальной) энергии. Начинает течь ток (тело приобретает скорость), через четверть периода ток и магнитная энергия наибольшие, а конденсатор разряжен, заряд на нем равен нулю (скорость тела и его кинетическая энергия наибольшие, причем тело проходит через положение равновесия), и т.д.

Заметим, что начальный заряд конденсатора и, следовательно, напряжение на нем создаются электродвижущей силой батареи. С другой стороны, начальное отклонение тела создается приложенной извне силой. Таким образом, сила, действующая на механическую колебательную систему, играет роль, аналогичную электродвижущей силе, действующей на электрическую колебательную систему. Наш «словарь» может быть поэтому дополнен еще одним «переводом»:

7) сила, 7) электродвижущая сила.

Сходство закономерностей обоих процессов идет и дальше. Механические колебания затухают из-за трения: при каждом колебании часть энергии превращается из-за трения в теплоту, поэтому амплитуда делается все меньше. Точно так же при каждой перезарядке конденсатора часть энергии тока переходит в теплоту, выделяющуюся из-за наличия сопротивления у провода катушки. Поэтому и электрические колебания в контуре тоже затухают. Сопротивление играет для электрических колебаний ту же роль, что трение для механических колебаний.

В 1853г. английский физик Вильям Томсон (лорд Кельвин, 1824-1907) показал теоретически, что собственные электрические колебания в контуре, состоящем из конденсатора емкости и катушки индуктивности , являются гармоническими, и период их выражается формулой

( - в генри, - в фарадах, - в секундах). Эта простая и очень важная формула называется формулой Томсона. Сами колебательные контуры с емкостью и индуктивностью часто тоже называют томсоновскими, так как Томсон впервые дал теорию электрических колебаний в таких контурах. В последнее время все чаще используется термин «-контур» (и аналогично «-контур», «-контур» и т. п.).

Сравнивая формулу Томсона с формулой, определяющей период гармонических колебаний упругого маятника (§ 9), , мы видим, что масса тела играет такую же роль, как индуктивность , а жесткость пружины - такую же роль, как величина, обратная емкости (). В соответствии с этим в нашем «словаре» вторую строку можно записать и так:

2) жесткость пружины 2) величина, обратная емкости конденсатора.

Подбирая разные и , можно получить любые периоды электрических колебаний. Естественно, в зависимости от периода электрических колебаний надо пользоваться различными способами их наблюдения и записи (осциллографирования). Если взять, например, и , то период будет

т. е. колебания будут происходить с частотой около . Это пример электрических колебаний, частота которых лежит в звуковом диапазоне. Такие колебания можно услышать при помощи телефона и записать на шлейфовом осциллографе. Электронный осциллограф позволяет получить развертку как таких, так и более высокочастотных колебаний. В радиотехнике используются чрезвычайно быстрые колебания - с частотами во много миллионов герц. Электронный осциллограф позволяет наблюдать их форму так же хорошо, как мы можем с помощью следа маятника на закопченной пластинке (§ 3) видеть форму колебаний маятника. Осциллографирование свободных электрических колебаний при однократном возбуждении колебательного контура обычно не применяется. Дело в том, что состояние равновесия в контуре устанавливается всего лишь за несколько периодов, или, в лучшем случае, за несколько десятков периодов (в зависимости от соотношения между индуктивностью контура , его емкостью и сопротивлением ). Если, скажем, процесс затухания практически заканчивается за 20 периодов, то в приведенном выше примере контура с периодам в вся вспышка свободных колебаний займет всего и уследить за осциллограммой при простом визуальном наблюдении будет весьма трудно. Задача легко решается, если весь процесс - от возбуждения колебаний до их практически полного угасания - периодически повторять. Сделав развертывающее напряжение электронного осциллографа тоже периодическим и синхронным с процессом возбуждения колебаний, мы заставим электронный пучок многократно «рисовать» одну и ту же осциллограмму на одном и том же месте экрана. При достаточно частом повторении наблюдаемая на экране картина вообще будет казаться непрерывающейся, т. е. мы усидим неподвижную и неизменную кривую, представление о которой дает рис. 49, б.

В схеме с переключателем, показанной на рис. 49, а, многократное повторение процесса можно получить просто, периодически перебрасывая переключатель из одного положения в другое.

Радиотехника располагает для этой же гораздо более совершенными и быстрым электрическими способами переключения, использующими схемы с электронными лампами. Но еще до изобретения электронных ламп был придуман остроумный способ периодического повторения возбуждения затухающих колебаний в контуре, основанный на использовании искрового заряда. Ввиду простоты и наглядности этого способа мы остановимся на нем несколько подробнее.

Рис. 51. Схема искрового возбуждения колебаний в контуре

Колебательный контур разорван небольшим промежутком (искровой промежуток 1), концы которого присоединены ко вторичной обмотке повышающего трансформатора 2 (рис. 51). Ток от трансформатора заряжает конденсатор 3 до тех пор, пока напряжение на искровом промежутке не станет равным напряжению пробоя (см. том II, §93). В этот момент в искровом промежутке происходит искровой разряд, который замыкает контур, так как столбик сильно ионизованного газа в канале искры проводит ток почти так же хорошо, как и металл. В таком замкнутом контуре возникнут электрические колебания, как это описано выше. Пока искровой промежуток хорошо проводит ток, вторичная обмотка трансформатора практически замкнута искрой накоротко, так что все напряжение трансформатора падает на его вторичной обмотке, сопротивление которой значительно больше сопротивления искры. Следовательно, при хорошо проводящем искровом промежутке трансформатор практически не доставляет энергии контуру. В силу того, что контур обладает сопротивлением, часть колебательное энергии расходуется на джоулево тепло, а также на процессы в искре, колебания затухают и через короткое время амплитуды тока и напряжения падают настолько, что искра гаснет. Тогда электрические колебания обрываются. С этого момента трансформатор вновь заряжает конденсатор, пока опять не произойдет пробой, и весь процесс повторится (рис. 52). Таким образом, образование искры и ее погасание играют роль автоматического переключателя, обеспечивающего повторение колебательного процесса.

Рис. 52. Кривая а) показывает, как меняется высокое напряжение на разомкнутой вторичной обмотке трансформатора. В те моменты, когда это напряжение достигает напряжения пробоя , в искровом промежутке проскакивает искра, контур замыкается, получается вспышка затухающих колебаний – кривые б)

Урок № 48-169 Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре. Формула Томпсона. Колебания - движения или состояния, повто­ряющиеся во времени. Электромагнитные колебания - это колебания электрических и магнитных полей, которые сопро­ вождаются периодическим измене­ нием заряда, тока и напряжения. Колеба­тельный контур - это система, состоящая из катушки индуктив­ности и конденсатора (рис. а). Если конденсатор зарядить и замк­нуть на катушку, то по катушке потечет ток (рис. б). Когда кон­денсатор разрядится, ток в цепи не прекратится из-за самоиндук­ции в катушке. Индукционный ток, в соответствии с правилом Ленца, будет течь в ту же сторону и перезарядит конденсатор (рис. в). Ток в данном направлении прекратится, и процесс повторится в обратном направлении (рис. г).

Таким образом, в колеба­ тельном контуре происхо­ дят электромагнитные колеба­ ния из-за превращения энергии электрического поля конденсато­ ра ( W Э =
) в энергию магнит­ного поля катушки с током (W М =
), и наоборот .

Гармонические колебания - периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса.

Уравнение, описывающее свободные электромагнитные колебания, принимает вид

q"= - ω 0 2 q (q"- вторая производная.

Основные характеристики колебательного движения:

Период колебаний - минимальный промежуток времени Т, через который процесс полностью повторяется.

Амплитуда гармонических колебаний - модуль наибольшего значения колеблющейся величины.

Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например в секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за 1 с νопределяется так: ν = 1/Т.

Напомним, что в Международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если за 1 с совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Генриха Ге р ц а.

Через промежуток времени, равный периоду Т, т. е. при увеличении аргумента косинуса на ω 0 Т, значение заряда повторяется и косинус принимает прежнее значение. Из курса математики известно, что наименьший период косинуса равен 2л. Следовательно, ω 0 Т =2π, откуда ω 0 = =2πν Таким образом, величина ω 0 - это число колебаний, но не за 1 с, а за 2л с. Она называется циклической или круговой частотой.

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы. Часто в дальнейшем для краткости мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту ω 0 от частоты ν можно по обозначениям.

По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной систе­мы циклическая частота свободных электриче­ ских колебаний равна:ω 0 =

Период свободных колебаний в контуре равен: Т==2π
- формула Томсона.

Фаза колебаний (от греческого слова phasis – появление, ступень развития какого-либо явления) – величина φ, стоящая под знаком косинуса или синуса. Выражается фаза в угловых единицах – радианах. Фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами.

Так как ω 0 = , то φ= ω 0 Т=2π . Отношение показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени t= (четверти периода) φ=, по прошествии половины периода φ = π, по прошествии целого периода φ=2π и т.д.Можно изобразить на графике зависимость

заряда не от времени, а от фазы. На рисунке показана та же косинусоида, что и на предыдущем, но на горизонтальной оси отложены вместо времени

различные значения фазы φ.

Соответствие между механическими и электрическими величинами в колебательных процессах

Механические величины

942(932). Начальный заряд, сообщенный конденсатору колебательного контура, уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменились: а) амплитуда напряжения; б) амплитуда силы то­ка;

в) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки?

943(933). При увеличении напряжения на конденсаторе колебательного контура на 20 В амплитуда силы тока увели­чилась в 2 раза. Найти начальное напряжение.

945(935). Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400 пФ и катушки индуктивностью L = 10 мГн. Найти амплитуду колебаний силы тока I т , если амплитуда колебаний напряжения U т = 500 В.

952(942). Через какое время (в долях периода t/T) на кон­денсаторе колебательного контура впервые будет заряд, рав­ный половине амплитудного значения?

957(947). Катушку какой индуктивности надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости конденсатора 50 пФ получить частоту свободных колебаний 10 МГц?

Колебательный контур. Период свободных колебаний.

1. После того как конденсатору колебательного контура был сообщён заряд q = 10 -5 Кл, в контуре возникли затухающие колебания. Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания в нём полностью затухнут? Ёмкость конденсатора С=0,01мкФ.

2. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 400нФ и катушки индуктивностью 9мкГн. Каков период собственных колебаний контура?

3. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при ёмкости 100пФ получить период собственных колебаний 2∙ 10 -6 с.

4. Сравнить жесткости пружин k1/k2 двух маятников с массами грузов соответственно 200г и 400г, если периоды их колебаний равны.

5. Под действием неподвижно висящего груза на пружине её удлинение было равно 6,4см. Затем груз оттянули и отпустили, вследствие чего он начал колебаться. Определить период этих колебаний.

6. К пружине подвесили груз, вывели его из положения равновесия и отпустили. Груз начал колебаться с периодом 0,5с. Определите удлинение пружины после прекращения колебаний. Массу пружины не учитывать.

Экзаменационные вопросы:

1. Какое из приведенных ниже выражений определяет период свободных колебаний в колебательном контуре? А. ; Б.
; В.
; Г.
; Д. 2 .

2. Какое из приведенных ниже выражений определяет циклическую частоту свободных колебаний в колебательном контуре? А. Б.
В.
Г.
Д. 2π

3. На рисунке представлен график зависимости координаты Х тела, совершающего гармонические колебания вдоль оси ох, от времени. Чему равен период колебания тела?

4. На рисунке изображён профиль волны в определённый момент времени. Чему равна её длина?

5. На рисунке представлен график зависимости силы тока через катушку колебательного контура от времени. Чему равен период колебаний силы тока? А. 0,4 с. Б. 0,3 с. В. 0,2 с. Г. 0,1 с.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

А. 0,2 м. Б. 0,4 м. В. 4 м. Г. 8 м. Д. 12 м.

7. Электрические колебания в колебательном контуре заданы уравнением q =10 -2 ∙ cos 20t (Кл).

Чему равна амплитуда колебаний заряда?

А . 10 -2 Кл. Б.cos 20t Кл. В.20t Кл. Г.20 Кл. Д.Среди ответов А-Г нет правильного.

8. При гармонических колебаниях вдоль оси ОХ координата тела изменяется по закону X=0,2cos(5t+). Чему равна амплитуда колебаний тела?

А. Xм; Б. 0,2 м;В. сos(5t+) м; (5t+)м; Д.м

9. Частота колебаний источника волны 0,2 с -1 скорость распространения волны 10 м/с. Чему равна, длина волны? А. 0,02 м. Б. 2 м. В. 50 м.

Г. По условию задачи нельзя определить длину волны. Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

10. Длина волны 40 м, скорость распространения 20 м/с. Чему равна частота колебаний источника волн?

А. 0,5 с -1 . Б. 2 с -1 . В. 800 с -1 .

Г. По условию задачи нельзя определить частоту колебания источника волн.

Д. Среди ответов А-Г нет правильного.

3

Основным устройством, определяющим рабочую частоту любого генератора переменного тока, является колебательный контур. Колебательный контур (рис.1) состоит из катушки индуктивности L (рассмотрим идеальный случай, когда катушка не обладает омическим сопротивлением) и конденсатора C и называется замкнутым. Характеристикой катушки является индуктивность, она обозначается L и измеряется в Генри (Гн), конденсатор характеризуют емкостью C , которую измеряют в фарадах (Ф).

Пусть в начальный момент времени конденсатор заряжен так (рис.1), что на одной из его обкладок имеется заряд +Q 0 , а на другой - заряд -Q 0 . При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое поле, обладающее энергией

где - амплитудное (максимальное) напряжение или разность потенциалов на обкладках конденсатора.

После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток (рис.2), величина которого увеличивается от нуля до максимального значения . Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора

(где - заряд конденсатора в данный момент времени) равна разности потенциалов на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции

Рис.1	Рис.2

Когда конденсатор полностью разрядится и , сила тока в катушке достигнет максимального значения (рис.3). Индукция магнитного поля катушки в этот момент также максимальна, а энергия магнитного поля будет равна

Затем сила тока начинает уменьшаться, а заряд будет накапливаться на пластинах конденсатора (рис.4). Когда сила тока уменьшится до нуля, заряд конденсатора достигнет максимального значения Q 0 , но обкладка, прежде заряженная положительно, теперь будет заряжена отрицательно (рис. 5). Затем конденсатор вновь начинает разряжаться, причем ток в цепи потечет в противоположном направлении.

Так процесс перетекания заряда с одной обкладки конденсатора на другую через катушку индуктивности повторяется снова и снова. Говорят, что в контуре происходят электромагнитные колебания . Этот процесс связан не только с колебаниями величины заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в катушке, но и перекачкой энергии из электрического поля в магнитное и обратно.

Рис.3	Рис.4

Перезарядка конденсатора до максимального напряжения произойдет только в том случае, когда в колебательном контуре нет потерь энергии. Такой контур называется идеальным.

В реальных контурах имеют место следующие потери энергии:

1) тепловые потери, т.к. R ¹ 0;

2) потери в диэлектрике конденсатора;

3) гистерезисные потери в сердечнике катушке;

4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что , т.е.

Колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными , или собственными , колебаниями контура.

В этом случае напряжение U (и заряд Q ) на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:

где n - собственная частота колебательного контура, w 0 = 2pn - собственная (круговая) частота колебательного контура. Частота электромагнитных колебаний в контуре определяется как

Период T - время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре, определяется формулой Томсона

Сила тока в контуре также изменяется по гармоническому закону, но отстает от напряжения по фазе на . Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид

. (9)

На рис.6 представлены графики изменения напряжения U на конденсаторе и тока I в катушке для идеального колебательного контура.

В реальном контуре энергия с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут убывать, такие колебания называются затухающими. В задающих генераторах их применять нельзя, т.к. прибор будет работать в лучшем случае в импульсном режиме.

Рис.5	Рис.6

Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии при самых разнообразных рабочих частотах приборов, в том числе и применяемых в медицине.