Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл $ \int f(x) dx $, сделаем замену $ x=\phi(t) $. Отметим, что функция $ \phi(t) $ является дифференцируемой, поэтому можно найти $ dx = \phi"(t) dt $.
Теперь подставляем $ \begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end{vmatrix} $ в интеграл и получаем, что:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле .
Алгоритм метода замены переменной
Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi"(t) dt $$
После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t)dt $$
Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.
Примеры решений
Пример 1 |
Найти неопределенный интеграл методом замены переменной: $$ \int e^{3x} dx $$ |
Решение |
Выполняем замену переменной в интеграле на $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt = $$ Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо $ x $ написано $ t $: $$ = \frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ |
Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.
Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:
То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.
Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.
Вычислить интегралы методом замены переменой:
Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :
После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:
Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:
Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:
(Здесь (ln(cosx))’ — .)
2. Замена переменной (метод подстановки)
Суть метода подстановки заключается в том, что в результате введения новой переменной заданный сложный интеграл приводится к табличному или такому, прием вычисления которого известен.
Пусть требуется вычислить интеграл . Существует два правила подстановки:
Общего правила
подбора функции
не
существует, но есть несколько типов
подынтегральных функций, для которых
имеются рекомендации по подбору функции
.
Замену переменных можно применять несколько раз, пока не будет получен результат.
Пример 1. Найти интегралы:
а)
; б)
; в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Решение.
а)
Среди
табличных интегралов нет содержащих
радикалы различных степеней, поэтому
«хочется избавиться», прежде всего, от
и
.
Для этого потребуется заменить х
таким выражением, из которого легко
извлекались бы оба корня:
б)
Типичный
пример, когда возникает желание
«избавиться» от показательной функции
.
Но в данном случае удобнее за новую
переменную взять всё выражение, стоящее
в знаменателе дроби:
;
в)
Замечая,
что в числителе стоит произведение
,
являющееся частью дифференциала
подкоренного выражения, заменим все
это выражение новой переменной:
;
г) Здесь, как и в случае а), хочется избавиться от радикала. Но поскольку, в отличие от пункта а), здесь только один корень, то именно его и заменим новой переменной:
д)
Здесь
выбору замены способствуют два
обстоятельства: с одной стороны
интуитивное желание избавиться от
логарифмов, с другой стороны – наличие
выражения
,
являющегося дифференциалом функции
.
Но так же как и в предыдущих примерах,
в замену лучше включить и сопутствующие
логарифму константы:
е) Здесь, так же
как и в предыдущем примере, интуитивное
желание избавиться от громоздкого
показателя в подынтегральной функции
согласуется с известным фактом:
(формула 8 таблицы 3). Поэтому имеем:
.
Замена переменных для некоторых классов функций
Рассмотрим некоторые классы функций, для которых могут быть рекомендованы определенные подстановки.
Таблица 4. Рациональные функции
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
1.1.
|
|
1.2.
|
|
1.3.
|
Выделение полного квадрата: |
1.4.
|
Рекуррентная формула |
Трансцендентные функции:
1.5.
– подстановка t
= e
x
;
1.6.
–
подстановка t
= log a
x
.
Пример 2. Найти интегралы от рациональных функций:
а)
;
б)
;
в)
;
д)
.
Решение.
а) Этот интеграл нет необходимости вычислять с помощью замены переменных, здесь проще использовать подведение под знак дифференциала:
б) Аналогично, используем подведение под знак дифференциала:
;
в) Перед нами интеграл типа 1.3 таблицы 4, воспользуемся соответствующими рекомендациями:
д) Аналогично предыдущему примеру:
Пример 3. Найти интегралы
а)
;
б)
.
Решение.
б)
Подынтегральное
выражение содержит логарифм, поэтому
воспользуемся рекомендацией 1.6. Только
в данном случае удобнее заменить не
просто функцию
,
а все подкоренное выражение:
.
Таблица 6. Тригонометрические функции (R
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
3.1.
|
Универсальная подстановка ,
,
|
3.1.1.
|
Подстановка |
3.1.2.
|
Подстановка . |
3.1.3.
.
(т.е.
есть только четные степени функций
|
Подстановка |
3.2.
|
Если
если
если
если
,
|
3.3.
, |
Использовать формулы |
Пример 4. Найти интегралы:
а)
;
б)
; в)
;
д)
.
Решение.
а) Здесь интегрируем тригонометрическую функцию. Применим универсальную подстановку (таблица 6, 3.1):
.
б) Здесь также применим универсальную подстановку:
.
Заметим, что в рассмотренном интеграле замену переменных пришлось применить дважды.
в) Вычисляем аналогично:
д) Рассмотрим два приема вычисления данного интеграла.
1)
.
Как видим, получили разные функции-первообразные. Это не означает, что один из использованных приемов дает неверный результат. Дело в том, что используя известные тригонометрические тождества, связывающие тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла, имеем
Таким образом, найденные первообразные совпадают друг с другом.
Пример 5. Найти интегралы:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а) В
этом интеграле тоже можно применить
универсальную подстановку
,
но поскольку входящий в подынтегральную
функцию косинус – в четной степени, то
рациональнее использовать рекомендации
пункта 3.1.3 таблицы 6:
б) Сначала приведем все тригонометрические функции, входящие в подынтегральное выражение к одному аргументу:
В полученном интеграле можно применить универсальную подстановку, но замечаем, что подынтегральная функция не меняет знак при изменении знаков синуса и косинуса:
Следовательно,
функция обладает свойствами, указанными
в пункте 3.1.3 таблицы 6, поэтому наиболее
удобной будет подстановка
.
Имеем:
в) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у косинуса, то вся функция поменяет знак:
.
Значит, подынтегральная
функция обладает свойством, описанным
в пункте 3.1.2. Следовательно, рационально
воспользоваться подстановкой
.
Но прежде, как и в предыдущем примере,
преобразуем подынтегральную функцию:
г) Если
в заданной подынтегральной функции
поменять знак у синуса, то вся функция
поменяет знак, значит, имеем случай,
описанный в пункте 3.1.1 таблицы 6, поэтому
новой переменной нужно обозначить
функцию
.
Но поскольку в подынтегральном выражении
не наблюдается ни наличия функции
,
ни ее дифференциала, предварительно
преобразуем:
Пример 6. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
г)
.
Решение.
а)
Данный интеграл относится к интегралам
вида 3.2 таблицы 6. Поскольку синус в
нечетной степени, то согласно рекомендациям,
удобно заменить функцию
.
Но сначала преобразуем подынтегральную
функцию:
.
б)
Данный интеграл относится к тому
же типу, что и предыдущий, но здесь
функции
и
имеют четные степени, поэтому нужно
применить формулы понижения степени:
,
.
Получим:
=
в) Преобразуем функцию:
г) Согласно
рекомендациям 3.1.3 таблицы 6, в данном
интеграле удобно сделать замену
.
Получим:
Таблица 5. Иррациональные функции (R – рациональная функция своих аргументов)
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
Подстановка
|
|
Подстановка
…, |
|
2.3.
|
Подстановка,
где k – общий знаменатель дробей-показателей …, |
2.4.
|
Подстановка
|
2.5.
|
Подстановка
|
2.6.
|
Подстановка
|
2.7.
|
Подстановка
|
2.8. а) р – целое (подстановка х = t k , где k – общий знаменатель дробей т и п ); б)
в)
|
Пример 7. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а) Данный интеграл можно отнести к интегралам вида 2.1, поэтому выполним соответствующую подстановку. Напомним, что смысл замены в этом случае состоит в том, чтобы избавиться от иррациональности. А это означает, что заменить следует подкоренное выражение такой степенью новой переменной, из которой извлекались бы все имеющиеся под интегралом корни. В нашем случае это, очевидно :
Под интегралом получилась неправильная рациональная дробь. Интегрирование таких дробей предполагает, прежде всего, выделение целой части. Поэтому разделим числитель на знаменатель:
Тогда получаем
,
отсюда
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).
Пример 19. Вычислить
Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=-dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:
Пример 20. Вычислить
Воспользуемся заменой переменной . Тогда и . Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя замену, получим.
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.
СодержаниеСм. также:
Таблица неопределенных интегралов
Основные элементарные функции и их свойства
Метод замены переменной
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Основная формула замены переменной
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .
Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .
Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx
равен произведению производной x
по t
на дифференциал dt
.
Тогда
.
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x)
.
Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x)
- это производная t
по x
,
то
.
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1)
,
где x
- это функция от t
.
(2)
,
где t
- это функция от x
.
Важное замечание
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.
Здесь x
можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x
,
дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2)
. Положим t = x 2
+ x
.
Тогда
;
;
.
Примеры интегрирования заменой переменной
1)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin
x)′ = cos
x
.
Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin
x
.
2)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg
x
.
3)
Проинтегрируем
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1
.
Линейные подстановки
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b
,
где a
и b
- постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.
Примеры интегрирования линейными подстановками
A)
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
B)
Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2
- это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.
D)
Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.