Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.
где u 1, u 2, u 3 …., u n …–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом .
Числа u 1, u 2, u 3 …., u n … называют членами ряда , а u n – общий член ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.
S n = u 1 + u 2 +… + u n ,
т.е. S 1 = u 1 ; S 2 = u 1 + u 2
S n = u 1 + u 2 +…+ u n
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы S n при n , то есть
Число S называется суммой ряда.
В противном случае:
Тогда ряд называется расходящимся.
Эталонные ряды.
1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)
Пример.
2. Гармонический ряд.
3. Обобщенный гармонический ряд.
Пример.
.
Признаки сходимости знакоположительных рядов
Теорема 1. Необходимый признак сходимости.
C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.
Пример.
Достаточные признаки
Теорема 1.Признак сравнения рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда:
Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Пример. Исследовать ряд на сходимость:
Сравним
этот ряд с геометрическим рядом:
Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.
Теорема 2. Признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд:
по признаку Даламберу ряд сходится.
Теорема 3.Радикальный признак Коши.
3) при вопрос о сходимости остается открытым.
Пример: исследовать на сходимость числовой ряд:
Решение:
Следовательно, ряд сходится по Коши.
Теорема 4. Интегральный признак Коши.
Пусть члены ряда
положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf (x ) при x = 1, 2, …, n .
Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:
Пример.
Решение:
Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.
Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
Ряд называется знакопеременным , если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.
Рассмотрим знакочередующиеся ряды:
Теорема 1. Признак Лейбница (достаточный признак).
Если у знакочередующегося ряда
члены убывают по абсолютной величине, то есть и
то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S ≤ .
Пример.
Решение:
Применим признак Лейбница:
.
Следовательно, ряд сходится по Лейбницу.
Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.
Пример: исследовать ряд на сходимость:
Решение:
из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .
Следовательно, исходный ряд сходится.
Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.
Определение 1. абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 2. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.
Пример.
Решение:
Применим признак Лейбница:
Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.
Значит, исходный ряд сходится условно.
Последовательность - высокоупорядоченный числовой набор, образованный по заданному закону. Термин «ряд» обозначает результат сложения членов соответствующей ему последовательности. Для различных числовых последовательностей мы можем найти сумму всех ее членов или общее число элементов до заданного предела.
Последовательность
Под этим термином понимается заданный набор элементов числового пространства. Каждый математический объект задается определенной формулой для определения общего элемента последовательности, а для большинства конечных числовых наборов существуют простые формулы определения их суммы. Наша программа представляет собой сборник из 8 онлайн-калькуляторов, созданных для вычисления сумм наиболее популярных числовых наборов. Начнем с самого простого - натурального ряда, которым мы пользуемся в повседневной жизни для пересчета предметов.
Натуральная последовательность
Когда школьники изучают числа, они первым делом учатся считать предметы, например, яблоки. Натуральные числа естественным образом возникают при счете предметов, и каждый ребенок знает, что 2 яблока - это всегда 2 яблока, не больше и не меньше. Натуральный ряд задается простым законом, который выглядит как n. Формула гласит, что n-ный член числового набора равен n: первый - 1, второй - 2, четыреста пятьдесят первый - 451 и так далее. Результат суммирования n первых натуральных чисел, то есть начинающихся от 1, определяется по простой формуле:
∑ = 0,5 n × (n+1).
Расчет суммы натурального ряда
Для вычислений вам потребуется выбрать в меню калькулятора формулу натурального ряда n и ввести количество членов последовательности. Давайте вычислим сумму натурального ряда от 1 до 15. Указав n = 15, вы получите результат в виде самой последовательности:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
и суммы натурального ряда, равной 120.
Легко проверить корректность вычислений при помощи выше приведенной формулы. Для нашего примера результат сложения будет равен 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Все верно.
Последовательность квадратов
Квадратичная последовательность образуется из натуральной, путем возведения каждого члена в квадрат. Ряд квадратов формируется по закону n 2 , следовательно, n-ный член последовательности будет равняться n 2: первый - 1, второй - 2 2 = 4, третий - 3 2 = 9 и так далее. Результат суммирования начальных n элементов квадратичной последовательности вычисляется по закону:
∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.
При помощи этой формулы вы легко можете высчитать сумму квадратов от 1 до n для сколько угодно большого n. Очевидно, что эта последовательность также бесконечна и с ростом n будет расти и общее значение числового набора.
Расчет суммы квадратного ряда
В этом случае вам потребуется выбрать в меню программы закон квадратной последовательности n 2 , после чего выбрать значение n. Давайте рассчитаем сумму первых десяти членов последовательности (n= 10). Программа выдаст саму последовательность:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
а также сумму, равную 385.
Кубический ряд
Ряд кубов представляет собой последовательность натуральных чисел, возведенных в куб. Закон образования общего элемента последовательности записывается как n 3 . Таким образом, первый член ряда равен 1 3 = 1, второй - 2 3 = 8, третий - 3 3 = 27 и так далее. Сумма первых n элементов кубического ряда определяется по формуле:
∑ = (0,5 n × (n+1)) 2
Как и в предыдущих случаях, элементы числового пространства стремятся в бесконечность, и чем больше количество слагаемых, тем больше результат суммирования.
Расчет суммы кубического ряда
Для начала выберите в меню калькулятора закон кубического ряда n 3 и задайте любое значение n. Давайте определим сумму ряда из 13 членов. Калькулятор выдаст нам результат в виде последовательности:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197
и суммы соответствующего ей ряда, равного 8281.
Последовательность нечетных чисел
Множество натуральных чисел содержит подмножество нечетных элементов, то есть тех, которые не делятся на 2 без остатка. Последовательность нечетных чисел определяется выражением 2n - 1. Согласно закону, первый член последовательности будет равен 2×1 − 1 = 1, второй - 2×2 − 1 = 3, третий - 2×3 − 1 = 5 и так далее. Сумма начальных n элементов нечетного ряда вычисляется по простой формуле:
Рассмотрим пример.
Вычисление суммы нечетных чисел
Сначала выберете в меню программы закон образования нечетного ряда 2n−1, после чего введите n. Давайте узнаем первые 12 членов нечетной ряда и его сумму. Калькулятор мгновенно выдаст результат в виде набора чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,
а также суммы нечетного ряда, который равен 144. И действительно, 12 2 = 144. Все верно.
Прямоугольные числа
Прямоугольные числа относятся к классу фигурных чисел, которые представляют собой класс числовых элементов, необходимых для построения геометрических фигур и тел. К примеру, чтобы построить треугольник необходимо 3, 6 или 10 точек, квадрат - 4, 9 или 16 точек, а для выкладывания тетраэдра потребуется 4, 10 или 20 шаров или кубов. Прямоугольники легко построить при помощи двух последовательных чисел, например, 1 и 2, 7 и 8, 56 и 57. Прямоугольные же числа выражаются в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Формула для общего члена ряда выглядит какn × (n+1). Первые десять элементов такого числового набора выглядят как:
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…
С увеличением n растет и значение прямоугольных чисел, следовательно, сумма такого ряда также будет расти.
Обратная последовательность
Для прямоугольных чисел существует обратная последовательность, определяемая формулой 1 / (n × (n+1)). Числовой набор трансформируется в набор дробей и выглядит как:
1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…
Сумма ряда дробей определяется по формуле:
∑ = 1 - 1/(n+1).
Очевидно, что при увеличении количества элементов ряда значение дроби 1/(n+1) стремится к нулю, а результат сложения приближается к единице. Рассмотрим примеры.
Сумма прямоугольного и обратного ему ряда
Давайте рассчитаем значение прямоугольной последовательности для n = 20. Для этого выберете в меню онлайн-калькулятора закон задания общего члена числового набора n × (n+1) и укажите n. Программа выдаст мгновенный результат в виде 3080. Для вычислений обратного ряда измените закон на 1 / (n × (n+1)). Сумма обратных числовых элементов будет равна 0,952.
Ряд произведений трех последовательных чисел
Прямоугольный числовой набор можно изменить, добавив к нему еще один последовательный множитель. Следовательно, формула для вычисления n-ного члена набора преобразится в n × (n+1) × (n+2). Согласно этой формуле элементы ряда образуются в виде произведения трех последовательных чисел, например, 1 × 2 × 3 или 10 × 11 × 12. Первые десять элементов такого ряда выглядят как:
6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320
Это быстрорастущий числовой набор, а сумма соответствующего ряда при росте n уходит в бесконечность.
Обратная последовательность
Как и в предыдущем случае, мы можем обратить формулу n-ного члена и получить выражение 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Тогда набор целых значений преобразится в ряд дробей, в знаменателе которых будут стоять произведения трех последовательных чисел. Начало такого набора имеет следующий вид:
1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…
Сумма соответствующего ряда определяется по формуле:
∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).
Очевидно, что при росте количества элементов дробь 1 / ((n+1) × (n+2)) стремится к нулю, а сумма ряда приближается к значению 0,5 × 0,5 = 0,25. Рассмотрим примеры.
Ряд произведений трех последовательных чисел и обратный ему
Для работы с этим набором требуется выбрать закон определения общего элемента n × (n+1) × (n+2) и задать n, к примеру, 100. Калькулятор выдаст вам саму последовательность, а также значение результата сложения сотни чисел, равный 26 527 650. Если выбрать обратный закон 1 / (n × (n+1) × (n+2)), сумма ряда из 100 членов будет равна 0,250.
Заключение
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$
то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.
Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:
$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.
Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:
$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$
Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:
$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$
Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.
Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$
Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$
Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.
В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:
Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.
Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$
Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$
Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:
$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$
Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$
Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.
Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:
$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$
И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.
Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть
У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.
Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$
У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:
$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.
Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$
"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:
$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$
Тогда выражение для частичной суммы примет вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.
Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть
$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Ответ : $S=\frac{1}{3}$.
Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.
И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах . Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников (буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!
Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды
(доживём-доживём:))
. Так, например, сумма популярного артиста 
выводится через ряды Фурье
. В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости
, но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
, сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.
В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:
Пример 1
Найти сумму ряда
Решение
: представим наш ряд в виде суммы двух рядов:
Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:
1) Если сходятся ряды 
, то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся
рядах. В нашём примере мы заранее знаем
, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.
2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: 
, и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.
Ответ : сумма ряда
Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены:
Дальше по накатанной.
Пример 2
Найти сумму ряда
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: 
.
А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:
Что такое сумма ряда?
Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда 
:
И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:
Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному числу: , то такой ряд называют сходящимся , а само число – суммой ряда . Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся .
Вернёмся к демонстрационному ряду 
и распишем его частичные суммы:
Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях . Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).
Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи : необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:
Пример 3
Вычислить сумму ряда
Решение
: на первом шаге нужно разложить общий член ряда
в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов
:
В результате:
Сразу же
полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку:
Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.
Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:
Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда 
ВМЕСТО
«эн» подставляем :
Почти все слагаемые частичной суммы благополучно взаимоуничтожаются:
Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.
Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:
Ответ :
Аналогичный ряд для самостоятельного решения:
Пример 4
Вычислить сумму ряда
Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.
Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения , Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:
Пример 5
Найти сумму ряда или установить его расходимость
По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.
Решение
: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение
:
Таким образом:
Множители лучше расположить в порядке возрастания: .
Выполним промежуточную проверку:
ОК
Таким образом, общий член ряда:
Таким образом: 
Не ленимся:
Что и требовалось проверить.
Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:
Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:
Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)
В результате зачистки получаем:
И, наконец, сумма ряда:
Ответ :
Пример 8
Вычислить сумму ряда 
Это пример для самостоятельного решения.
Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.
Основные понятия и определения
Пусть задана бесконечная числовая последовательность :
, … (1.1)
В прошлом году мы определяли числовую последовательность как функцию натурального аргумента. Это означает, что каждый член последовательности является функцией своего номера п
: 
. В дальнейшем иногда будем рассматривать и п
, равное нулю, поэтому числовую последовательность будем определять как функцию целочисленного
аргумента (от слов «целое число»).
Определение 1. Выражение
(1.2)
называется бесконечным числовым рядом
, или, короче, рядом
. Члены последовательности 
,… называются членами ряда
; выражение с индексом п
- общим членом ряда
.
Отличить последовательность от ряда просто: члены последовательности пишутся через запятую, члены ряда соединены знаками плюс.
Таким образом, понятие ряда является обобщением суммирования на случай бесконечного числа слагаемых.
Ряд считается заданным, если известна (задана) формула его общего члена. Общий член ряда (1.2) совпадает с общим членом последовательности (1.1) и также является функцией целочисленного аргумента n
, т.е. 
. Например, если задан общий член в виде
, (1.3)
то, полагая в этой формуле n = 1, 2, 3,..., можно найти любой член ряда, а тем самым и весь ряд:
- члены последовательности или члены ряда,
(1.4)
Числовой ряд.
Определение. Сумма n первых членов ряда называется n- ой частичной суммой ряда и обозначается символом :
Можно записать так: 
.
В частности,
Составим из всех частичных сумм ряда (1.2) числовую последовательность :
(1.7)
Она называется последовательностью частичных сумм. Как всякая числовая последовательность, она может иметь предел, т.е. сходиться, или не иметь предела, т.е. расходиться. Предел последовательности частичных сумм, если он существует, будем обозначать буквой S .
Определение. Ряд называется сходящимся (ряд сходится ), если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. При этом предел S последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда , т.е.
. (1.8)
Для сходящегося ряда, имеющего сумму S, можно формально записать равенство:
Ряд, не имеющий суммы (1.8), называют расходящимся
. В частности, если 
, то говорят, что ряд расходится к , и в этом случае используют символическое равенство
.
Замечание. Из равенства (1.6) следует, что любой член ряда можно представить как разность частичных сумм и :
. (1.10)
Изобразим геометрически последовательность частичных сумм. На рис.1.1,а и б ряд сходится, на рис.1.1,в - расходится.
|
|
|
Рис.1.1
Замечание 3.
Иногда номер члена ряда начинается с нуля: 
.
Примеры числовых рядов. Вычисление суммы ряда
Пример 1 º.
1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .
Здесь 
, .
Данный ряд расходится Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.
Пример 2 º.
Как обычно, чередование знаков + и - задается с помощью степени (-1). Здесь последовательность частичных сумм имеет вид:
т.е. значение частичной суммы зависит от чётности номера п :
Таким образом, чётные и нечётные частичные суммы стремятся к двум различным пределам:
чётные к нулю, нечётные - к единице:
|
Рис.1.2
Следовательно, последовательность не имеет предела, и данный ряд расходится.
Пример 3 º.
1 + 2 + 3 + ... + n + ...
Это арифметическая прогрессия с разностью . Напомним, что название «арифметическая» происходит оттого, что каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
.
В данной прогрессии 
, а последовательность частичных сумм имеет вид:
Пример 6º.
.
Вывод будет дан ниже. Здесь в знаменателе только нечётные числа.
Пример 7º.
. Вывод будет дан ниже.
Пример 8º.
Вывод будет дан ниже. Сумма ряда равна числу е - основанию натурального логарифма.
Сумму ряда вычислить не всегда легко и даже не всегда возможно. Поэтому в теории рядов чаще решается более простая задача - выяснение, сходится ряд или расходится. Это называется исследованием сходимости ряда.
